dijous, 18 de març de 2010

Paradoxa Ross-Littlewood

Ara feia dies que no penjava res. Tenia altres coses a fer. Però des d'ahir que porto pensant en la paradoxa Ross-Littlewood, i m'agradaria comentar-la breument.

Aquesta paradoxa diu el següent: imaginem que tenim un tipus d'animalets anomenats liturs que tenen la facultat de reproduir-se seguint la següent progressió: de 10 liturs neixen, en una primera hora, 10 liturs nous; d'aquests 10 liturs nous en neixen, al cap de 30 minuts, 10 liturs més, mentres els 10 primers ja no es reprodueixen més. Al cap de 15 min, dels últims liturs nascuts en neixen 10 de nous, mentre els 20 primers no es tornen a reproduir. Al cap de 15/2 minuts els liturs acabats de néixer es tornen a reproduir... i així de forma indefinida.

És obvi que en 2 hores hi hauran hagut infinits processos de reproducció (recordem que es tracta d'un cas purament teòric), ja que es suposa que els liturs es reprodueixen cada vegada més ràpidament, inclús superant la velocitat de la llum ¡No hi ha límit en la seva velocitat de reproducció!

En base això, ara suposem que tenim dues caixes: una de verda i una de vermella. En la verda hi posem els 10 primers liturs, dels quals en neixaran successivament tots els demés. En la vermella hi posem un litur cada vegada que s'esdevé una reproducció -Aquest litur ja no es reprodueix més.

Així doncs, al cap d'una hora en la caixa verda hi hauran 19 liturs i en la vermella 1; al cap d'una hora i mitja, en la caixa verda hi hauran 28 liturs i en la vermella 2; al cap d'una hora i tres quarts en la caixa verda hi hauran 37 liturs i en la vermella 3; al cap d'una hora i 52'5 min en la caixa verda hi hauran 46 liturs i en la vermella 4; al cap d'una hora i 56'25 min en la caixa verda hi hauran 55 liturs i en la vermella 5... i així indefinidament.


La pregunta és: un cop hi hagin hagut infinites reproducciones, o sigui al cap de 2h, ¿quants liturs hi hauran a la caixa verda i quants a la vermella?.

La paradoxa de Ross-Litllewood sorgeix perquè hi han dues possibles respostes, les quals es contradiuen. Una diu que tant en la caixa vermella com en la verda hi hauran, després de infinites reprduccions, infinits liturs. Pero amb diferents argumentacions Ross i Littlewood afirmaren demostrar que després de infinites reproduccions la caixa verda estarà buida mentre la vermella contindrà infinits liturs.

Ben mirat, i per dir-ho ràpid, Ross-littlewood creuen haver demostrat que infinit-infinit=0. I això no es acceptable.

Em sorprèn que encara hi hagi matemàtics que es plantegin aquesta paradoxa.